Ejemplos de derivadas de una función

La derivada de una función es un concepto importante en las matemáticas, siendo la base del cálculo diferencial y; plantea muchos conceptos que a su vez se extraen de la derivada como son: la integral, las ecuaciones diferenciales, en geometría analítica y; muchas otras ramas de las matemáticas, tal como muestra la imagen.

Derivada de una función: Interpretación geometría y definición desde el ejemplo

La derivada de una función  en un punto de la recta, está asociada a un concepto geométrico, como es la tangente (recta) a una curva (gráfica de la función) en un punto específico. Notación: f'(x) o y'(x)

Un ejemplo de derivada muy sencillo se puede visualizar con la función constante  F(X)=2.

Por lo que analíticamente hablando:

Una derivada de una función f'(x) es el resultado de un límite en un punto; donde este representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de una función en un solo punto (donde la toca).

Otro ejemplo, la función cuadrática: f(X)=X^2, en X=2

Así, puede verse que la derivada de una función se trabaja localmente (proximidad de un punto); es decir, es de nuevo una función; por ejemplo, en relación al tiempo que transcurre es visto como fuerza de cambio en cierto tiempo o variable (como fuerza).

Dicho de otra manera, la derivada se calcula como el límite de la rapidez de cambio de la función en cierto periodo de tiempo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente ( t o X) se torna más pequeño.

Por ello, suele decirse que la derivada de una función en un punto, es un valor de cierta función en un punto dado.

En consecuencia,  se dice que la derivada de una función existe en un intervalo (pedazo de recta), si existe la derivada en cada punto del mismo.

Aplicaciones de las derivadas

Las derivadas de funciones son usadas para la resolución de problemas de la vida diaria y de distintos procesos de la naturaleza. Por ejemplo, la derivada de una función mide la velocidad instantánea (como varia la posición en el tiempo), en un instante dado.

Igualmente, sirven para determinar ubicaciones y trayectorias pasadas un cierto tiempo; determinar la tensión de un material ante cierto tiempo y la fuerza aplicada; mide igualmente como es el crecimiento de una bacteria, en función del tiempo.

¿Cómo calcular la derivada de distintas funciones?

El cálculo de derivadas pueden ser realizadas por medio de reglas y formulas;  que se extraen resolviendo los límites que las definen y; que son llamadas “reglas de derivación”, las cuales son las formas más básicas y elementales para calcular una derivada.

La mayoría de derivadas complejas pueden ser realizadas operando con estas fórmulas, pero algunas más más complejas requieren diferentes métodos o técnicas de derivación.

Algunas de las reglas, con ejemplos de derivadas para diferentes tipos de funciones son las siguientes:

Observacion: Decide  entre usar la  gráfica anterior o los ejemplos, son lo mismo,

10 ejemplos de derivadas

·         y = k,   y’ = 0, donde k es una constante.

·         y = x,   y’ = 1.  Función identidad

·         y = x^n, y’ = nx^(n-1) ;  y = u^n , y’=nu^(n-1)u’  Función potencial;

·          y = e^x, y’=e^x ;    y=e^u, y’ = u’e^u  F. Exponencial y;

·         y = Ln u, y’ = u’ / u    F. Logarítmicas

Además,  se utiliza el álgebra para la derivación, la cual se aplica según estas reglas:

·         y = ku, y’ = ku’  una constante por una función, ejemplo: y = 1/5 X2    , y’ = 1/5 (2x)’=2/5X   ;

·          y = u + v – w,    y’ = u’ + v’ – w’. Suma de funciones;

·          y = uv,    y’ = u’v+uv’. Función producto y;

·         y = u/v, y’ = (u’v-uv’)/v^2.  F. Cociente

Otra de las reglas más usadas, es la derivada de una función compuesta, conocida como regla de la cadena y que explicaremos en otro artículo.

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